XIV Міжнародна наукова інтернет-конференція ADVANCED TECHNOLOGIES OF SCIENCE AND EDUCATION

Русский English




Научные конференции Наукові конференції

д.т.н., проф. Горбійчук М. І., Шуфнарович М. А. МЕТОД СИНТЕЗУ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ КОЛИВНИХ ПРОЦЕСІВ З НЕКРАТНИМИ ЧАСТОТАМИ

д.т.н., проф. кафедри КСМ Горбійчук М. І., асп. кафедри КСМ Шуфнарович М. А.

Івано-Франківський національний технічний університет нафти і газу

МЕТОД СИНТЕЗУ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ КОЛИВНИХ ПРОЦЕСІВ З НЕКРАТНИМИ ЧАСТОТАМИ

Розроблений метод синтезу математичних моделей коливних процесів з некратними частотами, оснований на засадах генетичних алгоритмів. Даний метод дає можливість синтезувати модель будь-якої складності без попереднього вибору числа рядів селекції. Застосування ідей генетичних алгоритмів відкриває широкі можливості для побудови складних моделей як технологічних процесів, так і фізичних явищ.

Аналіз коливних процесів показує, що має місце гармонічний тренд, який представляється у вигляді гармонічного ряду [1] з некратними частотами

image002390.png.   (1)

Таким чином, для знаходження параметрів image002392.png, image002393.png, image002394.png і image002395.png, image002396.pngгармонічного тренда необхідно спочатку визначити вагові коефіцієнти image002397.png.

Балансові коефіцієнти знаходять [1] із умови мінімізації нев'язки

image002398.png,          (2)

де image002399.png, image002400.png характеризує точність, з якою коливний процес виражається через задану суму гармонічних складових. Іншими словами, значення функції image002401.png у моменти часу, що симетрично розміщені відносно довільної точки i, повинні задовольняти  рівнянні балансу. Якщо ця умова виконується, то image002402.png.

Отже, визначають вагові коефіцієнти  як розв'язок лінійного алгебраїчного рівняння за методом виключення Гауса з вибором головного елементу [2]

image002403.png       (3)

Знаючи вагові коефіцієнти image002397.png, можемо скласти рівняння з

image002404.png,       (4)

де image002405.png, розв'язок якого відносно z дає змогу однозначно визначити частоти гармонік image002395.png, image002406.png.

Тепер задача полягає в оптимальному синтезі гармонічного ряду (1). Для вирішення даної задачі використаємо генетичні алгоритми. Суть такого підходу полягає у тому, що із початкової популяції хромосом шляхом еволюційного відбору вибрати таку, хромосому, яка забезпечує найкраще значення функції пристосування (мінімальне значення критерію селекції).

Вся реалізація вихідної величини процесу або явища розбивається на три частини у такій пропорції [3]:image002407.png, image002408.png і image002409.png. Визначивши для множини даних image002410.pngвагові коефіцієнти image002397.pngта частоти image002395.png, необхідно знайти параметри моделі (1) image002392.png,image002393.png і image002394.png.

Генетичний алгоритм складається із наступних кроків [4].

К1. Формування початкової популяції (ініціалізація). На першому кроці роботи алгоритму випадковим чином формується популяція із l осіб, кожна із яких є упорядкованою структурою (хромосомою) довжиною m, в якій на i - тому місці  буде стояти нуль або одиниця в залежності від того чи частота image002395.png 

вилучена із вибраного повного ряду m чи залишена.

К2. Оцінка пристосованості хромосоми у популяції. Для кожної хромосоми обчислюється критерій селекції, який у задачі синтезу моделей коливних процесів виступає комбінованим критерієм селекції [5]

image002411.png   (5)

де image002412.png  -  критерій зміщення         (6)

У відповідності з моделлю (1) формується матриця

image002413.png

У сформованій хромосомі подвоюємо одиниці і нулі, бо кожній частоті image002395.png відповідає пара коефіцієнтів. Оскільки у моделі (1) завжди присутній коефіцієнт image002392.png, то до хромосоми на першу позицію добавляємо одиничний ген. У відповідності до сформованої хромосоми із матриці F формуємо нову матрицю image002414.png, шляхом вилучення тих стовпців із матриці F, які асоційовані із нулями хромосоми. Із отриманої матриці утворимо дві матриці image002415.png і image002416.png розмірами image002417.png і image002418.png. На множинах точок image002410.png і image002419.png обчислюються ненульові коефіцієнти image002392.png, image002393.png і image002394.png 

моделі (1) шляхом розв'язку нормального рівняння Гауса

 image002420.png     (7)

image002421.png      (8)

де image002422.png, image002423.png- вектори параметрів моделі, яка асоційована з черговою хромосомою із початкової популяції і обчислені за формулами (7) і (8); image002424.pngimage002425.png- вектори експериментальних даних на множині точок image002410.png і image002419.png.

За відомою сукупністю коефіцієнтів image002422.png і image002423.png моделі (1) на множині точок N обчислюють image002426.png, image002427.png.

За формулою (5) обчислюють значення критерію селекції для кожної хромосоми, де  знаходять у відповідності з (2).

К3. Перевірка умови зупинки алгоритму. Визначають

image002428.png              (9)

Якщо мінімальне значення (9) критерію селекції (5) не перевершує деякого додатного значення image002429.png, то відбувається зупинка алгоритму. Зупинка алгоритму також може відбутися у випадку, коли його виконання не приводить до покращення функції пристосування або у тому випадку, коли алгоритмом уже виконано задане число ітерацій. Якщо виконується одна із трьох умов, із популяції вибирається хромосома, яка найбільш пристосована у популяції.

Після операції подвоєння і приєднання одиничного гену до хромосоми отримуємо хромосому, яка задає структуру моделі оптимальної складності і формує матрицю image002430.png таким чином, що із початкової матриці F вилучаються відповідні стовпці. Перерахунок параметрів моделі (1) здійснюється на множині всіх точок початкового масиву даних.

К4. Селекція хромосом. Використовуємо турнірний метод, при якому всі хромосоми розбиваються на підгрупи з наступним вибором із кожної утвореної підгрупи хромосоми з найкращою пристосованістю.

К5. Формування нової популяції потомків здійснюється за допомогою двох основних операторів: схрещування і мутації. Оператор схрещування складається із двох етапів. На першому етапі, із підгрупи з z осіб вибирається найкраща хромосома за критерієм селекції. Отримуємо нову популяцію хромосом, до якої застосовують оператор схрещування. Дія оператора схрещування приводить до того, що із пари родичів утворюється нова пара потомків. Після виконання оператора схрещування відбувається перехід до К2.

Література:

1. Ивахненко А. Г. Индуктивный метод самоорганизации моделей сложных систем: монография /  А. Г. Ивахненко. - К.: Наукова думка, 1981. - 296 с.

2. Вержбицкий В. М. Основы численных методов: учебник для вузов / В. М. Вержбицкий. - М.: Высшая школа, 2002. - 840 с.

3. Ивахненко А. Г. Справочник по типовым программам моделирования. /  А. Г. Ивахненко, Ю. В. Коппа, В. С. Степашко и др.; под ред. А. Г. Ивахненко -  К.: Техніка, 1980. - 180 с.

4. Рутковская Д. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы /  Д. Рутковская, М. Пилиньский, Л. Рутковский; пер. с польск. И. Д. Рудинского. - М.: Горячая линия-Телеком, 2004. - 452 с.

5. Ивахненко А. Г. Помехоустойчивость моделирования: монография /. А. Г. Ивахненко, В. С. Степашко - Киев: Наук. думка, 1985. - 216 с.


Залиште коментар!

Дозволено використання тегів:
<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <code> <em> <i> <strike> <strong>