Гончарук С.А. РОЛЬ ВИВЧЕННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ПРИ ВИКЛАДАННІ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ
Гончарук Світлана Анатоліївна
Вінницький будівельний технікум
РОЛЬ ВИВЧЕННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ПРИ ВИКЛАДАННІ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ
Вивчаючи явища природи, розв'язуючи різноманітні задачі з фізики, техніки, біології, економіки досить часто зустрічаються такі випадки, коли досліднику не вдається знайти закон, що пов'язує деякі величини, але в той же час порівняно легко можна встановити залежність між тими ж величинами і їх похідними або диференціалами.
Наприклад, дуже часто в інженерній практиці буває необхідно знайти закон руху тіла під дією заданих діючих на тіло сил. Знайти закон руху безпосередньо було б не легко, а між тим основний закон динаміки одразу дає нам можливість встановити залежність, яка містить другу похідну від шляху по часу
, де т - маса, х - шлях, який розглядається як функція від часу, t - час, f - сила, яка може бути функцією t, x,
; рух передбачається прямолінійним. Ми отримали диференціальне рівняння.Для складання математичної моделі у вигляді диференціальних рівнянь потрібно, як правило, знати тільки локальні зв'язки і не потрібна інформація про всі фізичні явища в цілому. Математична модель дає можливість вивчати явища в цілому, передбачити його розвиток, робити кількісні оцінки вимірів, що відбуваються в них з плином часу. Нагадаємо, що на основі аналізу диференціальних рівнянь були відкриті електромагнітні хвилі, і тільки після експериментального підтвердження Герцем фактичного існування електромагнітних хвиль став можливим розгляд рівнянь Максвела як математичної моделі реального фізичного явища.[4]Основна задача теорії диференціальних рівнянь - вивчення методів знаходження невідомих функцій, що визначаються диференціальними рівняннями.[1]
Диференціальні рівняння є одним із складових розділів програми з вищої математики технічних вузів.
Всякий прогрес у вивченні інтегралів диференціальних рівнянь одразу ж дозволяє про двинути розв'язання ряду прикладних задач. Класичним прикладом цього може бути випадок руху твердого тіла, знайдений і до кінця вивчений С.В. Ковалевською. Вона знайшла цей випадок, виходячи із спроби знайти такі випадки руху твердого тіла, коли інтеграли відповідних рівнянь володіють деякими аналітичними властивостями.
Диференціальні рівняння та методи їх дослідження широко використовуються в різноманітних галузях сучасної науки і техніки. Тому теорія диференціальних рівнянь посідає чільне місце в системі підготовки спеціалістів із механіки, фізики, електроніки, хімії, матеріалознавства, біології, економіки, машинобудування.
Головну увагу слід приділяти висвітленню ідейного та алгоритмічного аспектів розглядуваних понять, методів і тверджень, розбору числених прикладів, які ілюструють теорію. [2]
В даний час важливу роль у розвитку теорії диференціальних рівнянь відіграє застосування сучасних електронно-обчислювальних машин. Дослідження диференціальних рівнянь часто полегшує можливість провести обчислювальний експеримент для виявлення тих або інших властивостей їх розв'язків, які потім можуть бути теоретично обґрунтовані і стануть фундаментом для подальших теоретичних досліджень.
Мета обчислювального експерименту - побудова з необхідною точністю за допомогою ЕОМ за якомога найменший машинний час адекватного кількісного опису фізичного явища, що вивчається. В основі такого експерименту досить часто численне розв'язування системи рівнянь з частинними похідними. Звідси походить зв'язок теорії диференціальних рівнянь з обчислювальною математикою.[4]
При вивченні кожного типу рівнянь потрібно наводити необхідні для їх розв'язування теоретичні відомості та відповідні алгоритми, а також прості ілюстративні приклади, прагнути до розв'язування якомога ширшого кола як простих задач та задач традиційного типу, так і задач сучасних, підвищеної складності.[3]
Багато розділів теорії диференціальних рівнянь так розрослись, що стали самостійними науками. Можна сказати, що більша частина шляхів, що пов'язує абстрактні математичні теорії і природничо-наукові додатки, проходить через диференціальні рівняння. Все це забезпечує теорії диференціальних рівнянь почесне місце в сучасній науці.
Література:
•1. Самойленко А.М. та ін. Диференціальні рівняння в задачах. Навч. посібник. - К.: Либідь, 2003. - 504 с.
•2. Кривошея С.А. та ін. Диференціальні та інтегральні рівняння: Підручник. - К.: Либідь, 2004. - 408 с.
•3. Головач Г.П., Калайда О.Ф. Збірник задач з диференціальних та інтегральних рівнянь. - К.: Техніка, 1997. - 228 с.
•4. Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате// Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях (Олейник О.А., 1996)
