Подпишитесь на рассылки о научных публикациях
Канд. физ.-мат. наук, Тоница О.В.
Национальный технический университет «ХПИ»
ОПИСАНИЕ ОБЛАСТЕЙ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ МЕТОДАМИ УСЛОВНЫХ R-ФУНКЦИЙ И НЕЧЁТКОЙ ЛОГИКИ В FUZZY МОДЕЛЯХ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
Математическими моделями физико-механических полей являются краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных для областей сложной конфигурации. Эти задачи могут быть решены при помощи конструктивных методов теории R-функций [1,2]. С математической точки зрения, задача расчета поля относится к числу краевых задач для уравнений с частными производными и обычно сводится к поиску в некоторой области решения уравнения
при некоторых краевых условиях:
на границе области
области
, где A и L - заданные дифференциальные операторы, f и
- функции, определенные соответственно внутри области
и на участках
ее границы.
При моделировании физических полей важно учитывать допуски, так как большинство реальных процессов являются стохастическими. Стохастическими являются и конкретные технические данные в пределах допусков, обуславливаемых технологиями. При этом модель физического поля должна учитывать на уровне нечетких множеств [3-5] как область, в которой ищется решение, так и краевые условия.
Для разработки нечетких структурных формул решения нечетких краевых задач необходимо определить соответствующие изоморфизмы в теориях R-функций и нечеткой логике. Необходимо исследовать в построенных функциональных множествах вопросы функциональной замкнутости, полноты (построения полных систем функций), аналитических представлений функций и их тождественных преобразований. Основные задачи указанных проблем рассмотрены в данной работе.
В результате проведенных исследований установлена связь нечеткой логики и теории R-функций [3]. В нечеткой логике выполняются все законы алгебры двузначной логики, кроме закона исключения третьего и закона противоречия
. Исследования показали, что эти законы можно дополнить.
Дополним систему тождеств нечеткой логики обобщенными законами исключения третьего и противоречия
где 1/2 является центром множества [0, 1].
Тогда будут иметь место следующие утверждения:
Утверждение 1. Функции нечеткой логики являются условными R-
функциями [1] на отрезке [0,1], соответствующими разбиению
в трехзначном и двузначном случаях соответственно.
Данные функции являются условными R-функциями, так как обладают свойствами R-функций только на некотором отрезке числовой оси, в частности, на отрезке [0,1].
Утверждение 2.Функции алгебры логики являются
cопровождающими [1] для условных R[0,1]-функций, т.е. для функций нечеткой логики.
Можно показать, что с помощью замены
отрезок [0, 1] переходит в отрезок [-1, 1] . А для условных R[-1, 1]-функций функции алгебры логики являются сопровождающими [1].
Доказаны теоремы.
Теорема 1. Множество {R[0,1]} условных R-функций функционально замкнуто.
Теорема 2. Система R-функций
достаточно полна в множестве {R[0,1]} условных R-функций.
Полученные результаты позволяют на аналитическом уровне конструировать структурные формулы решения нечетких краевых задач и
применять их для развития систем исследования физико-механических полей.
Литература:
1. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. - К.: Наук. думка. - 1982. - 550с.
2. Рвачев В.Л., Шевченко А.Н. Проблемно-ориентированные языки и системы для инженерных расчетов. - К.: Тэхника. - 1988. - 199с.
3. Шевченко А.Н., Тоница О.В. Моделирование физических полей с использованием теории R-функций и нечеткой логики // Методы оптимизации технических и информационных систем: Сб. науч. тр. / НАН Украины. Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова - Киев, 1995. - С. 130 -134.
4. Тоница О.В. Стохастическое моделирование физико-механических полей // Вісник Національного технічного університету «ХПІ». Збірник наукових праць. - Харків: НТУ «ХПІ». - 2010. - С. 26-33.
5. Тоніца О.В. Методи умовних R-функцій та їх застосування в наукових дослідженнях і навчальному процесі // Тезисы докладов Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной 80-летию со дня рождения академика НАН Украины Рвачева Владимира Логвиновича. - Харьков: ИПМаш НАН Украины. - 2006. - С. 41.
e-mail: olegtonitsa@yandex.ru