Канд. физ.-мат. наук Тоница О.В.

Национальный технический университет «ХПИ»

РАЗРАБОТКА СТРУКТУР РЕШЕНИЯ НЕЧЕТКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Предлагаются разработки структурных формул и алгоритмов решения нечетких краевых задач. Результаты основаны на использовании классического структурного метода, теории R-функций,  нечёткой логики [1-3]  и учитывают допуски на геометрическую и физическую информацию, погрешности измерений и ошибки округления. Получаемое интервальное решение позволяет делать экспертное заключение о решении реальной краевой задачи. Построения конкретизируются на примере задачи Дирихле.

Вычисления при расчете полей, как правило, носят детерминированный характер, в то время как реальные процессы в определенной степени являются стохастическими, содержат в себе некоторую нечеткость. Для учета последней нужно  так преобразовать существующую схему исследования физических полей, чтобы в результате многовариантного счета получить более точное «нечеткое» решение, которое будет ближе к реальности. Целесообразно ввести в схему решения учет допусков, т. е. источников нечеткости, наиболее сильно влияющих на результирующее решение. Практика показывает, что таких источников, как правило, три: допуски модели (на геометрические и физические характеристики), ошибки метода и погрешности округления [2-4]. Необходимо установить комплексное влияние варьирования величин в пределах допусков и исследовать возможности построения допусков на решение. В связи с этим большой интерес представляет разработка структурных формул и алгоритмов исследования полей, ориентированных  на многовариантное решение краевых задач с целью учесть варьирование определенных величин в пределах заданных допусков.

Для иллюстрации нечеткости реальной задачи моделирования рассмотрим задачу Дирихле для дифференциального уравнения общего вида. Пусть заданы область D и краевые условия с учетом допусков:

Изменяя допуски на геометрию и краевые условия в заданных пределах, получаем допуски на U, которым должно удовлетворять решение реальной краевой задачи. Предлагаемая методика моделирования для задачи анализа включает в себя следующие этапы: формирование допусков на решение и построение интервального решения; решение реальной краевой задачи; формирование экспертного заключения о приемлемости найденного решения.

Рассмотрим модель физического поля, например задачу Дирихле [1]. Четкую модель поля будем обозначать через m:

Ее решение структурным методом строится в виде

где    - аналитическое описание области ;  - функция, продолжающая краевые условия внутрь области; - неопределенные коэффициенты.

В соответствии с описанными выше источниками нечеткости построим нечеткую модель поля:

которую будем обозначать через M. Для выборки  нужно получить нечеткое решение

Через  обозначим модель, учитывающую варьирование физических величин в пределах заданных допусков, а через  - учитывающую варьирование геометрических характеристик.

Модель   будет иметь вид:

Модель   будет выглядеть следующим образом:

Здесь M(x) - математическое ожидание, D(x) - дисперсия, f(x) - закон распределения величины в пределах допусков.

Ошибки в величинах параметров имеют случайную природу и данные величины нормально распределены. Для решения задачи нужно построить стохастическую структуру, процесс получения заданного допуска в которой будет непрерывным и стохастическим. Необходимо построить стохастическую дискретную аппроксимацию, которая будет в пределе приближаться к непрерывной стохастической.

Получим нечеткое решение

где    D(x) - дисперсия случайной величины.

здесь  - математическое ожидание,  - вероятность события .

При решении задачи, представленной моделью  , получим k систем уравнений, отличающихся столбцом свободных членов. Поэтому используем метод Гаусса для решения уравнений с k правыми частями. При решении задачи, представленной моделью , получим k различных краевых задач.

     Рассмотрим вопросы формирования выборки и интервального решения. Как правило, размытость описывается нормальным законом распределения, где - некоторый доверительный интервал. Генерируя в пределах доверительного интервала случайные последовательности, формируем выборку. Для модели  генерируем случайные последовательности на краевые условия, для  - на геометрию. В результате реализации выборки получаем искомые решения. Интервальное решение в дискретном виде получаем следующим образом. Сканируя нечеткую область D и табулируя  в каждом узле некоторой дискретной сетки, находим математическое ожидание, дисперсию и доверительный интервал. Нечеткость определяется математическим ожиданием и доверительным интервалом.

Разработанные структурные формулы и алгоритмы применяются для развития систем исследования физическо-механических полей.

Литература:

1. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. - К.: Наук. думка. - 1982. - 550с.

2. Шевченко А.Н., Тоница О.В. Моделирование физических полей с использованием теории R-функций и нечеткой логики // Методы оптимизации технических и информационных систем: Сб. науч. тр. / НАН Украины. Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова - Киев, 1995. - С. 130 -134.

3. Тоніца О.В. Методи умовних R-функцій та їх застосування в наукових дослідженнях і навчальному процесі // Тезисы докладов Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной 80-летию со дня рождения академика НАН Украины Рвачева Владимира Логвиновича. - Харьков: ИПМаш НАН Украины. - 2006. - С. 41.

4.  Тоніца О. В. Методи стохастичного моделювання фізико-механічних полів // 8-я Международная конференция «Теория и техника передачи, приёма и обработки информации»: Сб. науч. трудов. - Харьков: ХНУРЭ, 2002. - С. 49-51.

e-mail:   olegtonitsa@yandex.ru

Залиште коментар!