Криворучко Н. І.

Хмельницький національний університет

Лук'янович Є. В.

Хмельницький інститут соціальних технологій ВНЗ ВМУРоЛ "Україна"

Застосування модифікованого проекційно-ітеративного методу до розв'язування

нелінійних інтегральних рівнянь

  Переважна більшість задач прикладного та теоретичного характеру зводиться до розв'язування диференціальних, інтегральних, інтегрально-функціональних та функціонально-диференціальних рівнянь. В наш час існують різні методи дослідження та побудови розв'язків цих рівнянь. Однак їх наявність не виключає можливості створення нових більш ефективних та вдосконалення вже існуючих методів.

Одним із ефективних і досить простих є метод послідовних наближень. Але обмежена область його застосування і не завжди достатня швидкість збіжності були стимулом створення методів, які прискорювали б збіжність ітераційних процесів та розширювали область їх застосування. З'явились методи, які поєднували в собі ідеї прямих та ітераційних методів. До них і відноситься метод усереднення функціональних похибок.

Перше узагальнення методу отримала в своїх роботах Є.А. Чернишенко, яка запропонувала більш загальну схему і застосувала метод до нелінійних рівнянь в нормованому просторі. Далі обґрунтуванням методу для нелінійних рівнянь займався М.С. Курпель (див., напр., [1]). Він побудував ряд загальних ітераційних процесів, частковим випадком яких є проекційно-ітеративний метод.

Застосуванням проекційно-ітеративного методу до різних математичних задач і його узагальненням присвячено багато праць (див., напр., [1]-[4]), в яких проекційно-ітеративний метод обґрунтовано для сингулярних інтегральних рівнянь, крайових задач для інтегро-диференціальних, функціонально-диференціальних та інших типів рівнянь. Встановлено критерії збіжності методу, досліджені питання ефективності та запропоновані зручні для рахунку обчислювальні схеми, реалізація яких в основному зводиться до виконання ітерації і розв'язку системи лінійних (нелінійних) алгебраїчних чи трансцендентних рівнянь. Але останню операцію не завжди можливо здійснити, тому було запропоновано модифікацію проекційно-ітеративного методу (див., напр., [5, с.20-30; 6, с.8-40]), що вироджується в проекційно-ітеративний метод для лінійних рівнянь, та є збіжною (див. [7, с.17-26]).

Розглянемо нелінійне інтегральне рівняння виду

            (1)

Припустимо, що:

1) функція  належить дійсному простору , де  - деяка обмежена область і  - додатний параметр;

2) лінійні інтегральні оператори

,,     (2)

відображають простір    в себе і є цілком неперервними;3) дійсна функція    F(x,z)   змінних  ,  задовольняє умову Каратеодорі,, , .                            (3)Тоді, враховуючи припущеннях, інтегральний оператор

  (4)

відображає простір в себе і є цілком неперервним.

До рівняння (1) застосовуємо модифікований проекційно-ітеративний метод, тобто наближені розв'язки будуємо за формулами:

  (5)

                             , к=1,2,3,...,                    (6)

                                                       (7)

де функція , ;

якщо ж похибка обчислюється за формулою     (8)

визначаються з умови: ,         (9)

де система функцій  - ортогональна.

Для визначення функції за формулами (5)-(7) отримуємо інтегральне рівняння

      (10)

      (10)але з виродженими ядрами, де

 , (11)

                                                   (12)

                                                    (13)

Теорема 1. Нехай виконуються припущення (1-3) та для будь-якої функції при .

Нехай для кожної  функції інтегральне рівняння (1) має єдиний розв'язок і справедлива нерівність, , де і  - розв'язки при і відповідно.

Тоді при досить великих  проекційно-ітеративний метод (5)-(7) збігається, тобто , .

Розглянемо рівняння (1), припускаючи, що, крім умов 1-3 (поданих вище), виконуються ще й такі:

,   ;                   (14)

, ;                    (15)

, .  (16)

Обмежимось випадком, коли похибки в методі визначаються за допомогою формул (8), (9) і будемо вважати, що для кожної функції  справедливі співвідношення

, , .  (17)

Співвідношення (17) виконуються, якщо ядра інтегральних операторів (2) сумовні з квадратом по обох змінних.

За зробленими припущеннями існують такі сталі , , , що для будь-якої функції

справедливі оцінки:

; ;

                           ,                    (18)

де функції визначаються за формулами (12), (13) та

 .                    (19)

Теорема 2. Якщо виконуються умови (3), (14)-(17) і при , , , то при та існує такий номер  n , при якому проекційно-ітеративний метод (5), (6), (8) і (9) збігається.

Очевидно, що умова  є достатньою для збіжності методу, а за умови теореми 2 виконується у випадку, коли система функцій - повна в просторі і ядра інтегральних операторів (2) сумовні з квадратом.

Справедливі наступні оцінки похибки:

;                                 (20)

;                                 (21)

,                               (22)

                             (23)

в яких - розв'язок інтегрального рівняння (1) і ,  - його наближення, знайдені згідно проекційно-ітеративного методу, а .

Розглянемо умови збіжності методу в обмеженій області. Вище наведено випадок, коли функція  задовольняє умову Ліпшиця для всіх . Однак клас таких функцій досить вузький і часто зустрічаються рівняння, коли замість (3) виконується умова , . Будемо вважати, що одиниця - регулярне значення ядра , тому справедливі , співвідношення (17) і .

Очевидно, що оператор  задовольняє умову                                     (24)

на множині , яка складається з функцій, що задовольняють нерівність . Нехай .           (25)

Виділимо з цієї кулі підмножину

,     (26)

де  , і , .

Теорема 3. Нехай виконується умова (24) та при деякому n  наближення  , і величини r, p такі, що виконуються нерівності , , , .

Тоді рівняння (1) на множині (26) має єдиний розв'язок і його можна побудувати проекційно-ітеративним методом (5)-(7).

Отже, в роботі досліджено питання застосування модифікованого проекційно-ітеративного методу до нелінійних рівнянь; встановлено збіжність цього методу при певних умовах; подано оцінки похибок; сформульовано теорему про можливість побудови єдиного розв'язку рівняння (1) проекційно-ітеративним методом.

Література:

•1. Курпель Н.С. Проекционно-итеративные методы решения операторных уравнений. - К.: Наук. думка, 1968. - 244с.

•2. Соколов Ю.Д. Метод осреднения функциональных поправок. - К.: Наук. думка, 1968. - 336с.

•3. Лучка А.Ю. Проекционно-итеративные методы. - К.: Наук. думка, 1993. - 288с.

•4. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1978. - 336с.

•5. Лучка А.Ю., Ярмуш Я.И. Решение системы конечно-разностных уравнений с малой нелинейностью проекционно-итеративным методом. - К., 1979. - 30с. - (Препр./ АН УССР. Ин-т математики; 79.62)

•6.  Яковлев М.Н. О некоторых методах решения нелинейных уравнений. - Труды Математического института им. В.А. Стеклова, 1965, - 84с.

•7.  Криль С.А. Решение интегро-разностных уравнений с малой нелинейностью проекционно-итеративным методом. - К., 1987. - 35с. - (Препр./ АН УССР, Ин-т математики; 87.17)

Залиште коментар!