Онай М.В., Рудик А.С., Князькіна О.С. КЛАСИФІКАЦІЯ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ

асистент Онай М.В., студентка Рудик А.С., студентка Князькіна О.С.

Національний Технічний Університет України "Київський політехнічний інститут"

КЛАСИФІКАЦІЯ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ

Сучасна математика характеризується інтенсивним проникненням в інші науки. Математика стала для багатьох сфер знань не тільки знаряддям для кількісних обчислень, але також методом точного дослідження та засобом чіткого формулювання понять та проблем.

Термін "математична модель" широко використовується в різних сферах людської діяльності, тому існує багато типів та видів математичних моделей. В багатьох сферах виникає необхідність проводити математичне моделювання систем та процесів.

Побудова та дослідження математичних моделей є одним з найбільш розповсюджених методів наукового пізнання. Сьогодні математичне моделювання стає дієвим інструментом дослідження майже в кожній області науки. Математичне моделювання відіграє велику роль у наукових дослідженнях, оскільки воно є методологією наукових досліджень, але в той же час математичне моделювання не замінює собою математику, фізику, біологію та інші наукові дисципліни і не конкурує з ними, а навпаки воно виконує синтезуючу роль, яку важко переоцінити [1, 2, 4].

Не дивлячись на те, що математичне моделювання використовується в багатьох сферах людської діяльності на даний момент немає чіткої, єдиної та повної класифікації математичних моделей [1].

Класифікація математичних моделей систем та процесів у відповідності до теорії подібності повинна виділяти в них найбільш загальні ознаки та властивості реальних систем, тобто систематизувати їх за цими ознаками, а це в свою чергу полегшує їх вивчення.

За приналежністю до ієрархічного рівня можна виділити: моделі мікрорівня, макрорівня та метарівня.

За способом отримання математичної моделі розрізняють: теоретичні моделі та емпіричні моделі.

За підходом до опису властивостей об'єкта можна виділити: моделі з зосередженими параметрами та моделі з розподіленими параметрами.

Моделі з зосередженими параметрами - це моделі систем, параметри яких або не мають просторової протяжності, або цією протяжністю можливо знехтувати. Стан таких систем зазвичай характеризується функцією або скінченним набором функцій, аргументом яких є тільки часова змінна . Як правило, поведінка системи із зосередженими параметрами описується скінченної кількістю звичайних диференціальних рівнянь.

Моделі з розподіленими параметрами - це моделі систем, характерною рисою яких є просторова протяжність об'єктів, що входять до них. Суттєвим для віднесення системи до класу розподілених є неможливість цією протяжністю знехтувати, не ризикуючи при цьому адекватністю та якістю подання. Стан системи з розподіленими параметрами характеризується функцією або набором функцій кількох змінних. Як правило, однією з таких змінних виступає час, а іншими є координати точок геометричної області, що займає дана система. Поведінку систем з розподіленими параметрами описують диференціальними рівняннями в частинних похідних, диференціально-різницевими, інтегральними, інтегро-диференціальними рівняннями та іншими складними математичними відношеннями.

За характером врахування характеристик системи розрізняють: лінійні математичні моделі та нелінійні математичні моделі.

Лінійність моделі характеризується тим, що відношення між змінними, що описують поведінку системи, описуються лінійною функцією. Визначення лінійної системи можна сформулювати це таким чином: це система для якої виконується принцип суперпозиції, тобто лінійній комбінації довільних вхідних сигналів , , ...,  відповідає лінійна комбінація відповідних вихідних сигналів: , де  оператор, що відповідає лінійній системі.

За особливістю зміни параметрів моделі в часі виділяють: стаціонарні моделі та нестаціонарні моделі.

Стаціонарні моделі це моделі в яких вихідний сигнал, як реакція на будь-який заданий вхідний сигнал однакова для будь-якого моменту часу дії вхідного сигналу, тобто це означає сталість параметрів моделі в часі. Відповідно нестаціонарні моделі мають параметри, що змінюються в часі, тобто нестаціонарні моделі характеризуються залежністю їх параметрів від часу. Суттєвим фактором для нестаціонарних моделей є закон зміни параметрів.

За підходом до опису параметрів системи виділяють: детерміновані математичні моделі та стохастичні математичні моделі.

Детермінована математична модель - це аналітичне подання закономірностей при яких для даної сукупності вхідних даних на виході системи може бути отримано єдиний результат. Така модель може відображати як ймовірнісну систему (тоді вона є її спрощенням), так і детерміновану систему.

Стохастична математична модель - це модель, в якій параметри, умови функціонування та характеристики стану об'єкта, що моделюється подані випадковими величинами та пов'язані стохастичними залежностями, або вхідна інформація також подана випадковими величинами. Стохастичні процеси, наприклад, моделюються в теорії масового обслуговування та мережному плануванні.

За множиною значень змінних виділяють: неперервні математичні моделі та дискретні математичні моделі.

Неперервна математична модель - це модель, що описується неперервними змінними та параметрами.

Дискретна математична модель - це модель, всі змінні та параметри, якої є дискретними величинами. Вона може відображати, як дискретні системи, так і неперервні системи, які зводяться до дискретного виду за допомогою подання неперервних величин в якості дискретних.

За характером відображення властивостей об'єкту моделі можуть бути розділені на: функціональні математичні моделі та структурні математичні моделі.

У функціональних моделях величини, що характеризують явище або об'єкт, виражаються кількісно. Вони відображають фізичні, механічні, хімічні або інформаційні процеси, що відбуваються в технічному об'єкті. Математична модель зазвичай представляє собою систему рівнянь різного типу (диференціальних, алгебраїчних і т.д.), що встановлюють кількісні залежності між величинами, що розглядаються.

Структурні моделі характеризують структуру складного об'єкта, що складається з окремих частин, між якими існують певні зв'язки. Зазвичай ці зв'язки не піддаються кількісному вимірюванню. Для побудови таких моделей зручно використовувати теорію графів.

За способом подання властивостей об'єкту моделі можуть бути розділені на: аналітичні математичні моделі та імітаційні математичні моделі.

В аналітичних моделях поведінка реальних процесів та систем задається у вигляді явних функціональних залежностей (лінійних або нелінійних систем рівнянь, диференціальних або інтегральних рівнянь та їх систем). Однак отримати ці залежності вдається не для всіх систем та процесів. В результаті аналітична модель стає доволі грубим наближенням до дійсності.

Функціонування складних технічних об'єктів інколи вдається описати лише за допомогою сукупності їх реакцій на деякі відомі (або задані) вхідні впливи (сигнали). Такий різновид математичного моделювання називають імітаційним моделюванням (simulation modeling), маючи на увазі, що воно лише імітує зовнішні прояви функціонування технічного об'єкту, не розкриваючи та не описуючи сутності процесів, що протікають в ньому.

За часовим параметром розрізняють: статичні математичні моделі та динамічні математичні моделі.

За призначення математичної моделі виділяють: технічні моделі, економічні моделі, біологічні моделі і т.д.

Технічні та біологічні математичні моделі зазвичай описуються складними математичні відношенням та для проведення моделювання залучаються чисельні методи [1, 3]. Економічні моделі описуються деякою цільовою функцію та набором обмежень (нерівностей), які мають виконуватись, для таких моделей використовують методи математичного програмування [5].

Наведена класифікація не є вичерпною і в подальшому може бути уточнена та доповнена. Також, подальший напрям досліджень вбачається в більш докладному розгляді кожного виду математичної моделі та виділенні нових ознак за якими можна класифікувати математичні моделі.

Література:

•1.     Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. - 2-е изд. испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 320 с.

•2.     Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. Изд. 3-е, исправленное. - М: КомКнига, 2007. - 192 с.

•3.     Томашевський В.М.. Моделювання систем. - К.: Видавнича група BHV, 2007. - 352 с.: іл.

•4.     Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учеб. для вузов - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2001. - 343 с.: ил.

•5.     Данциг Дж. Линейное программирование, его применения и обобщения / Под ред. Н.Н. Воробьева - М.: Прогресс, 1966. - 600 с.

e-mail:   onay_nikolay_kpi@ukr.net

Залиште коментар!